Пусть а—значение аргумента, b—соответствующее значение функции Тогда точка принадлежит графику функции Точка принадлежит графику функции g, обратной (рис. 57). Но точки симметричны относительно прямой (докажите это самостоятельно). Также у функции есть область определения (D(f) или Dx) и область значений (E(f) или Dy). Первая отображает всевозможные независимые переменные (х), в которых функция существует и имеет какое-то значение, а вторая — все значения (у). Задаётся функция в виде таблицы, в которой различным значениям аргумента сопоставлены значения функций.
Ее график расположен выше оси Ох (рис. 51). Если то значения функции отрицательны и ее график расположен ниже оси Ох (рис. 52). Если построить график функции для различных значений а, то мы увидим, что чем больше тем «круче» идут ветви графика (рис. 49). Нанесем на координатную плоскость все эти точки и соединим их плавной линией (рис. 46, а). Полученная кривая называется гиперболой.
- И/или по ссылке Построение графиков, содержащих модуль аргумента или модуль функции, а также сумму или разность нескольких модулей.
- Если функция является бесконечно большой при то функция бесконечно малая при .
- В этом случае вычисление значений функции сводится к непосредственному считыванию соответствующих пар.
- Так, функции четные, функции нечетные, функция общего вида.
- При рассмотрении множеств очень важной является возможность связать между собой два различных множества некоторым способом.
Перечисление значений
Если будем менять значение х, то будут получаться новые точки. Совокупность всех полученных точек и назовем графиком функции. Иначе говоря, графиком функции называется геометрическое место точек, абсциссы которых равны значению независимого переменного , а ординаты — соответствующему значению функции. Из аналитической геометрии мы знаем, что графиком этой функции (рис. 77) является равносторонняя гипербола, состоящая из двух ветвей. Совокупность всех действительных значений аргумента, при которых функция имеет действительные значения, называется областью существования функции.
- Функцией называется не только зависимое переменное, но и закон или способ, устанавливающий соответствие между зависимым и независимым переменными.
- Существуют и другого рода разрывы, когда функция меняет одно конечное значение на другое, тоже конечное.
- Например, областью существования функции
- Мы получим график обратной функции (сплошная линия на рис. 58).
- Построим теперь график функции график обратной пропорциональности.
Что такое функция?
Разрешая его относительно у, получим В котором коэффициенты А, B, С, D, Е, F — заданные числа. Это уравнение можно разрешить относительно у. Полученное выражение у через х будет достаточно сложным. Поскольку из функции фондовой биржи уравнения (I) мы найдем выражение у через х, то можно сказать, что уравнение (I) определяет у как функцию х.
Пусть — некоторая функция с областью определения D и — предельная точка области D. В определении предела функции при подчеркивалось, что значение не учитывается при вычислении предела. Это значение даже может не входить в область определения функции; если же то значение А предела функции может не совпадать со значением ► Пусть число А является пределом функции по первому определению. Предположим, что тем не менее второму определению функция не удовлетворяет.
Основные теоремы о пределах функций
Пусть дана функция Покажем, что если эта функция задана на множестве то она не является обратимой функцией. Из того, что следует, что она принимает каждое свое значение два раза. А обратимая функция принимает каждое свое значение только один раз. Следовательно, эта функция не обратима.
Геометрическое изображение приращений аргумента и функции
Функция g называется обратной функцией. Функция не определена при поэтому ее график не пересекает ось Оу. В силу четности функции график симметричен относительно оси Оу. Если то значения функции всегда положительны, т.
Бесконечно малым функциям противопоставляются бесконечно большие функции. Функция имеет предел А при , тогда и только тогда, когда функция — А является б.м.ф. При , а функция ограничена в некоторой окрестности числа а, то произведение является б. Изобразим в круге радиуса 1 (см. рис. 11) угол хорду АВ, касательную АС к окружности в точке А и высоту BD треугольника Длина дуги АВ в радианах равна t.
Область определения функции (D(y)) – это те аргументы, которые может приобретать функция. Иначе говоря, это все возможные абсциссы её точек. Зная свойства определённого вида функций, можно представить, как выглядит функция, как она себя ведет. Свойства помогают нам характеризовать функции. 📎 График функции — это множество точек на координатной плоскости, где каждая точка имеет координаты (x;y).
Очевидно, что Построенная последовательность отрезков удовлетворяет условиям приведенного на с. Поэтому такое, что Так как функция непрерывна, то Но по построению имеем Отсюда и из приведенного на с. 37 следствия 8.1 получим одновременно, т. Простейшей является ситуация, когда и существует конечный предел (см. рис. 13 а). Точку в этом случае называют устранимой точкой разрыва.
Возьмём любую функцию и попробуем найти первые 10 значений при каких-то значениях переменной икс. Возьмём натуральные числа от нуля до девяти. Где f — обозначение слова «функция» (function), y — зависимая переменная, х — аргумент.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция. Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле. Для функций трёх и более аргументов такое графическое представление не применимо.
Что такое функция
В этой четверти при увеличении х значение у будет также увеличиваться (рис. 36). Числовой последовательностью называется бесконечное занумерованное множество действительных чисел Последовательностью называется также функция натурального аргумента (п — натуральное). График функции получается из расположенных на и над Ох ветвей предыдущего графика и отраженных относительно оси Ох отрицательных его ветвей. Если последний график сдвинем параллельно себе вправо на 2, то получим требуемый (рис. 5.17, в). График функции состоит из графика и симметричного с ним относительно оси Оу графика функции (рис. 5.17, а). Достаточно знать точки пересечения графика функции с осью Ох.
Предположим, что есть функция возрастающая. Тогда для справедливо, что из условия следует разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции. Следовательно, функция обратимая, так как она принимает каждое свое значение только один раз. Можно показать, что функция f, определенная на множестве X и с множеством значений У, является обратимой функцией тогда и только тогда, когда каждое свое значение она принимает только один раз. Функция f, определенная на множестве X и с множеством значений У, называется обратимой функцией, если обратное ей соответствие g также является функцией.
Следовательно, функция будет убывающей, если и возрастающей, если во всей области определения этой фунции, т. Функция определена на множестве всех чисел, нечетная и монотонная. Мы уже показали, что функция является нечетной. Докажем теперь, что она монотонна.